LA VALEUR ABSOLUE D'UN NOMBRE REEL

Dernière modification effectuée le vendredi 29 décembre 2000     

Activité 1

1°) Sur un axe d'origine O, placer les points M,N d'abscisses respectives 3 ; -3

2°) Déterminer les distances entre les points O et M d'une part puis entre O et N d'autre part. On notera ces distances OM et ON.

3°)Quelle relation existe-t-il entre la distance ON et l'abscisse de N ?

Même question pour la distance OM et l'abscisse de M.

4°) Placer un point P. Soit x son abscisse.

Quelle est la distance de O à P en fonction de x?

Indication :

a) Remplir un tableau avec les différentes valeurs de x et les distances correspondantes :

Abscisse x de P Distance de O à P
   
   
   
   
   

b) Passer à une simulation avec un fichier sous Cabri-Géomètre :axeva.fig

c) Observer le graphique afin de découvrir l'expression de la distance en fonction de x

Résumé de cours n°1

Pour trouver la valeur absolue d'un nombre x, on détermine son signe.

La valeur absolue d'un nombre positif est ce nombre.

La valeur absolue d'un nombre négatif est l'opposé de ce nombre.

Exercice 1 d'application

Déterminer les valeurs absolues des nombres suivants :

56 ; - 75 ; 3.14 - ; x2 ; - x4

Activité 2

1°) Ouvrir le fichier suivant :courbeva.fig

2°) Observer la figure en faisant bouger x sur l'axe des abscisses.

3°) Exprimer la distance de O à P dans les cas suivants :

x = 2 ; x = -2 ; x = 0 ; x = -6 ; x = 180 ; x = -250

4°)a) Si x < 0, comment exprimer la distance OP en fonction de l'abscisse x du point M.

b) Si x > 0, comment exprimer la distance OP en fonction de l'abscisse x du point M

c) Quel lien y-a-t-il avec la valeur absolue ?

5°) Quelles sont les coordonnées du point M ?

6°) Dessiner la trace du point M quand x varie sur l'axe des abscisses.

Résumé de cours n° 2

Voici la courbe d'équation y =| x |

Activité 3 : Application aux équations

1°) Dans le repère suivant :

tracer la droite D d'équation y = a

Selon les valeurs de a, déterminer graphiquement les solutions de l'équation |x| = a

Complétons :

1°) Si a < 0 alors l'équation |x| = a ................... solution car la valeur absolue d'un nombre est toujours ……………

2°) Si a > 0 alors l'équation |x| = a admet pour solutions ……… car deux nombres ………… ont …………………

3°) Si a = 0 alors l'équation |x| = a admet pour solutions ………car la valeur absolue d'un nombre est nulle

lorsque …………………………………

Solutions :

Exercice 2 d'application

Résoudre les équations suivantes d'inconnue x :

a) |x| = -3

b) |x| = 7

c) |x - 3| = -3

d) |x - 3| = 0

Solutions

Activité 4 : La distance entre des nombres a et b est la valeur absolue de leur différence.

On écrira d(a;b) = | a - b |

1°)Calculer d(3;4) ; d( 4;-7) ; d(-7;-11)

2°) Y-a-t-il des nombres situés à la distance 4 de 3 ? Si oui, quels sont-ils ?

Utiliser le fichier Cabri-Géomètre axeva2.fig

3°) Exprimer d(x;3) à l'aide de la valeur absolue.

4°) Un élève écrit que l'équation |x - 3| = 2 a pour solutions x=2 et x= -2.

Est-ce vrai ? Justifier

Exercice 3:

Résoudre  l'équation |x - 3| = 2 sans utiliser la notion de distance.

solutions

Activité 5

En observant les 4 images suivantes ou en téléchargeant le fichier courbeva3.fig  si vous avez Cabri-géomètre et en faisant varier x 

Compléter :

1°)Si a <= 0 alors l'inéquation |x| < a ......................solution

2°)Si a > 0 alors l'inéquation |x| < a a ses solutions entre ..... et ......

3°)Si a < 0 alors l'inéquation |x| > a est ..........et admet tout .....comme solution

4°)Si a >= 0 alors l'inéquation |x| > a a pour solution : les réels x ...... ..........que -a ou x .... ............ que a

Image 1

Image 2

Image 3

Image 4

Retenons :

1°)Si a <= 0 alors |nombre|< a est impossible

2°)Si a > 0 alors |nombre| < a signifie que ce nombre est strictement compris entre - a et a

3°)Si a < 0 alors |nombre|> a est vraie pour tout nombre.

4°)Si a >= 0 alors |nombre| > a signifie que ce nombre est strictement plus petit que -a ou strictement plus grand que a.